উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization)
Type-01
০১. \(x^2 + 4x - 21\) [Syllet/2022]
\(= x^2 + 7x - 3x - 21\)
\(= x(x + 7) - 3(x + 7)\)
\(= \mathbf{(x + 7)(x - 3)}\)
\(= x(x + 7) - 3(x + 7)\)
\(= \mathbf{(x + 7)(x - 3)}\)
০২. \(m^2 - 4m + 3\) [Ctg/2020]
\(= m^2 - 3m - m + 3\)
\(= m(m - 3) - 1(m - 3)\)
\(= \mathbf{(m - 3)(m - 1)}\)
\(= m(m - 3) - 1(m - 3)\)
\(= \mathbf{(m - 3)(m - 1)}\)
০৩. \(2 - 5x - 12x^2\) [Dinajpur/2023]
\(= 2 - 8x + 3x - 12x^2\)
\(= 2(1 - 4x) + 3x(1 - 4x)\)
\(= \mathbf{(1 - 4x)(2 + 3x)}\)
\(= 2(1 - 4x) + 3x(1 - 4x)\)
\(= \mathbf{(1 - 4x)(2 + 3x)}\)
০৪. \(x^2 - \frac{10}{3}xy + y^2\) [Dinajpur/2025]
\(= \frac{1}{3}(3x^2 - 10xy + 3y^2)\)
\(= \frac{1}{3}(3x^2 - 9xy - xy + 3y^2)\)
\(= \frac{1}{3}\{3x(x - 3y) - y(x - 3y)\}\)
\(= \mathbf{\frac{1}{3}(x - 3y)(3x - y)}\)
\(= \frac{1}{3}(3x^2 - 9xy - xy + 3y^2)\)
\(= \frac{1}{3}\{3x(x - 3y) - y(x - 3y)\}\)
\(= \mathbf{\frac{1}{3}(x - 3y)(3x - y)}\)
Type-02
০৫. \(p^3 - 3p + 36\) [Mymansing/2023]
ধরি, \(f(p) = p^3 - 3p + 36\)
\(f(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 36 = -27 + 9 + 36 \neq 0\)
\(f(p) = p^3 + 27 - 3p + 9 = (p+3)(p^2 - 3p + 9) - 3(p - 3)\)
বিকল্প পদ্ধতি (ভ্যানিশিং মেথড/সংযোজন):
\(= p^3 + 3p^2 - 3p^2 - 9p + 6p + 36\)
\(= p^2(p + 3) - 3p(p + 3) + 12(p + 3)\)
\(= \mathbf{(p + 3)(p^2 - 3p + 12)}\)
\(f(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 36 = -27 + 9 + 36 \neq 0\)
\(f(p) = p^3 + 27 - 3p + 9 = (p+3)(p^2 - 3p + 9) - 3(p - 3)\)
বিকল্প পদ্ধতি (ভ্যানিশিং মেথড/সংযোজন):
\(= p^3 + 3p^2 - 3p^2 - 9p + 6p + 36\)
\(= p^2(p + 3) - 3p(p + 3) + 12(p + 3)\)
\(= \mathbf{(p + 3)(p^2 - 3p + 12)}\)
০৬. \(m^3 - 3m^2 + 3m - 2\) [Dhaka/2019]
\(= m^3 - 3m^2 + 3m - 1 - 1\)
\(= (m - 1)^3 - 1^3\)
\(= \{(m - 1) - 1\}\{(m - 1)^2 + (m - 1)\cdot 1 + 1^2\}\)
\(= (m - 2)(m^2 - 2m + 1 + m - 1 + 1)\)
\(= \mathbf{(m - 2)(m^2 - m + 1)}\)
\(= (m - 1)^3 - 1^3\)
\(= \{(m - 1) - 1\}\{(m - 1)^2 + (m - 1)\cdot 1 + 1^2\}\)
\(= (m - 2)(m^2 - 2m + 1 + m - 1 + 1)\)
\(= \mathbf{(m - 2)(m^2 - m + 1)}\)
Type-03
০৭. \(x^4 + 64\) [Jassore/2023]
\(= (x^2)^2 + 8^2\)
\(= (x^2 + 8)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 8\)
\(= (x^2 + 8)^2 - 16x^2 = (x^2 + 8)^2 - (4x)^2\)
\(= \mathbf{(x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8)}\)
\(= (x^2 + 8)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 8\)
\(= (x^2 + 8)^2 - 16x^2 = (x^2 + 8)^2 - (4x)^2\)
\(= \mathbf{(x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8)}\)
০৮. \(x^4 - 3x^2 + 1\) [Cumilla/2023]
\(= (x^2)^2 - 2\cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 - x^2\)
\(= (x^2 - 1)^2 - x^2\)
\(= \mathbf{(x^2 + x - 1)(x^2 - x - 1)}\)
\(= (x^2 - 1)^2 - x^2\)
\(= \mathbf{(x^2 + x - 1)(x^2 - x - 1)}\)
০৯. \(p^4 + p^2 - 2\) [Rajshahi/2024]
\(= p^4 + 2p^2 - p^2 - 2\)
\(= p^2(p^2 + 2) - 1(p^2 + 2)\)
\(= (p^2 + 2)(p^2 - 1)\)
\(= \mathbf{(p^2 + 2)(p + 1)(p - 1)}\)
\(= p^2(p^2 + 2) - 1(p^2 + 2)\)
\(= (p^2 + 2)(p^2 - 1)\)
\(= \mathbf{(p^2 + 2)(p + 1)(p - 1)}\)
১০. \(p^4 - 27p^2 + 1\) [Dhaka/2026]
\(= (p^2)^2 - 2\cdot p^2 \cdot 1 + 1^2 - 25p^2\)
\(= (p^2 - 1)^2 - (5p)^2\)
\(= \mathbf{(p^2 + 5p - 1)(p^2 - 5p - 1)}\)
\(= (p^2 - 1)^2 - (5p)^2\)
\(= \mathbf{(p^2 + 5p - 1)(p^2 - 5p - 1)}\)
১১. \(x^4 - 38x^2 + 1\) [Barishal/2020]
\(= (x^2)^2 - 2\cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 - 36x^2\)
\(= (x^2 - 1)^2 - (6x)^2\)
\(= \mathbf{(x^2 + 6x - 1)(x^2 - 6x - 1)}\)
\(= (x^2 - 1)^2 - (6x)^2\)
\(= \mathbf{(x^2 + 6x - 1)(x^2 - 6x - 1)}\)
১২. \(y^4 - 79y^2 + 1\) [Barishal/2023]
\(= (y^2)^2 - 2\cdot y^2 \cdot 1 + 1^2 - 77y^2\) (অথবা \(+ 2y^2 - 81y^2\))
\(= (y^2 + 1)^2 - (9y)^2\)
\(= \mathbf{(y^2 + 9y + 1)(y^2 - 9y + 1)}\)
\(= (y^2 + 1)^2 - (9y)^2\)
\(= \mathbf{(y^2 + 9y + 1)(y^2 - 9y + 1)}\)
১৩. \(a^4 - 51a^2 + 1\) [Mymansing/2022]
\(= (a^2)^2 - 2\cdot a^2 \cdot 1 + 1^2 - 49a^2\)
\(= (a^2 - 1)^2 - (7a)^2\)
\(= \mathbf{(a^2 + 7a - 1)(a^2 - 7a - 1)}\)
\(= (a^2 - 1)^2 - (7a)^2\)
\(= \mathbf{(a^2 + 7a - 1)(a^2 - 7a - 1)}\)
১৪. \(m^4 - 6m^2 + 1\) [Rajshahi/2019]
\(= (m^2)^2 - 2\cdot m^2 \cdot 1 + 1^2 - 4m^2\)
\(= (m^2 - 1)^2 - (2m)^2\)
\(= \mathbf{(m^2 + 2m - 1)(m^2 - 2m - 1)}\)
\(= (m^2 - 1)^2 - (2m)^2\)
\(= \mathbf{(m^2 + 2m - 1)(m^2 - 2m - 1)}\)
১৫. \(m^4 - 7m^2 + 1\) [Ctg/2019]
\(= (m^2)^2 + 2\cdot m^2 \cdot 1 + 1^2 - 9m^2\)
\(= (m^2 + 1)^2 - (3m)^2\)
\(= \mathbf{(m^2 + 3m + 1)(m^2 - 3m + 1)}\)
\(= (m^2 + 1)^2 - (3m)^2\)
\(= \mathbf{(m^2 + 3m + 1)(m^2 - 3m + 1)}\)
Type-04
১৬. \(ax^2 + (ax - 1) - b\) [Ctg/2022]
\(= ax^2 + ax - 1 - b\)
(ক্ষেত্রভেদে \(ax^2 + (a^2 - 1)x - a\) টাইপ হতে পারে। ছবি অনুযায়ী: \(ax^2 + ax - 1 - b\))
(ক্ষেত্রভেদে \(ax^2 + (a^2 - 1)x - a\) টাইপ হতে পারে। ছবি অনুযায়ী: \(ax^2 + ax - 1 - b\))
১৭. \((m-1)a^2 + m^2ab + (m+1)b^2\) [Mymansing/25]
ধরি, \(m-1 = x\) এবং \(m+1 = y\)
\(\therefore xy = m^2 - 1 \implies m^2 = xy + 1\)
প্রদত্ত রাশি \(= xa^2 + (xy + 1)ab + yb^2\)
\(= xa^2 + xyab + ab + yb^2\)
\(= xa(a + yb) + b(a + yb) = (a + yb)(xa + b)\)
মান বসিয়ে: \(= \{a + (m+1)b\}\{(m-1)a + b\}\)
\(= \mathbf{(a + mb + b)(ma - a + b)}\)
\(\therefore xy = m^2 - 1 \implies m^2 = xy + 1\)
প্রদত্ত রাশি \(= xa^2 + (xy + 1)ab + yb^2\)
\(= xa^2 + xyab + ab + yb^2\)
\(= xa(a + yb) + b(a + yb) = (a + yb)(xa + b)\)
মান বসিয়ে: \(= \{a + (m+1)b\}\{(m-1)a + b\}\)
\(= \mathbf{(a + mb + b)(ma - a + b)}\)
Type-05
১৮. \(b^2 - 1 + 2c - c^2\) [Syllet/23, Rajshahi/26]
\(= b^2 - (c^2 - 2c + 1)\)
\(= b^2 - (c - 1)^2\)
\(= \mathbf{(b + c - 1)(b - c + 1)}\)
\(= b^2 - (c - 1)^2\)
\(= \mathbf{(b + c - 1)(b - c + 1)}\)
১৯. \(y^2 - 2z - 1 - z^2\) [Mymansing/2026]
\(= y^2 - (z^2 + 2z + 1)\)
\(= y^2 - (z + 1)^2\)
\(= \mathbf{(y + z + 1)(y - z - 1)}\)
\(= y^2 - (z + 1)^2\)
\(= \mathbf{(y + z + 1)(y - z - 1)}\)
২০. \(a^2 - 2ab - 2b - 1\) [Mymansing/2024]
\(= a^2 - 1 - 2ab - 2b\)
\(= (a + 1)(a - 1) - 2b(a + 1)\)
\(= \mathbf{(a + 1)(a - 2b - 1)}\)
\(= (a + 1)(a - 1) - 2b(a + 1)\)
\(= \mathbf{(a + 1)(a - 2b - 1)}\)
২১. \(x^2 - 1 + 6y - 9y^2\) [Dinajpur /2026]
\(= x^2 - (9y^2 - 6y + 1)\)
\(= x^2 - (3y - 1)^2\)
\(= \mathbf{(x + 3y - 1)(x - 3y + 1)}\)
\(= x^2 - (3y - 1)^2\)
\(= \mathbf{(x + 3y - 1)(x - 3y + 1)}\)
২২. \(4x^2 - 12xy + 9y^2 - 16z^2\) [Dhaka/20]
\(= (2x - 3y)^2 - (4z)^2\)
\(= \mathbf{(2x - 3y + 4z)(2x - 3y - 4z)}\)
\(= \mathbf{(2x - 3y + 4z)(2x - 3y - 4z)}\)
২৩. \(x^2 + 10x + 16 - y^2 + 6y\) [Rajshahi/2023]
\(= (x^2 + 10x + 25) - (y^2 - 6y + 9)\)
\(= (x + 5)^2 - (y - 3)^2\)
\(= (x + 5 + y - 3)(x + 5 - y + 3)\)
\(= \mathbf{(x + y + 2)(x - y + 8)}\)
\(= (x + 5)^2 - (y - 3)^2\)
\(= (x + 5 + y - 3)(x + 5 - y + 3)\)
\(= \mathbf{(x + y + 2)(x - y + 8)}\)
Type-06
২৪. \(y^2 - 2yz - 4z - 4\) [Mymansing/20, Barishal/22]
\(= y^2 - 4 - 2yz - 4z\)
\(= (y + 2)(y - 2) - 2z(y + 2)\)
\(= \mathbf{(y + 2)(y - 2z - 2)}\)
\(= (y + 2)(y - 2) - 2z(y + 2)\)
\(= \mathbf{(y + 2)(y - 2z - 2)}\)
২৫. \(y^2 - 2pq + 4q - 4\) [Syllet/2025]
\(= y^2 - 4 - 2pq + 4q\)
\(= (y + 2)(y - 2) - 2q(p - 2)\)
\(= (y + 2)(y - 2) - 2q(p - 2)\)
২৬. \(x^2 - 2\left(a + \frac{1}{a}\right)x + 4\) [Barishal/2019]
\(= x^2 - 2ax - \frac{2}{a}x + 4\)
\(= x(x - 2a) - \frac{2}{a}(x - 2a)\)
\(= \mathbf{(x - 2a)\left(x - \frac{2}{a}\right)}\)
\(= x(x - 2a) - \frac{2}{a}(x - 2a)\)
\(= \mathbf{(x - 2a)\left(x - \frac{2}{a}\right)}\)
Type-07
২৭. \((2a - b)^3 - 27\) [Ctg/2023]
\(= (2a - b)^3 - 3^3\)
\(= \{(2a - b) - 3\}\{(2a - b)^2 + 3(2a - b) + 3^2\}\)
\(= \mathbf{(2a - b - 3)(4a^2 - 4ab + b^2 + 6a - 3b + 9)}\)
\(= \{(2a - b) - 3\}\{(2a - b)^2 + 3(2a - b) + 3^2\}\)
\(= \mathbf{(2a - b - 3)(4a^2 - 4ab + b^2 + 6a - 3b + 9)}\)
২৮. \(a^3 + 9 + (a + 1)^3\) [Barishal/2026]
\(= a^3 + 1^3 + (a + 1)^3 + 8\)
\(= (a + 1)(a^2 - a + 1) + (a + 1)^3 + 8\)...
\(= (a + 1)(a^2 - a + 1) + (a + 1)^3 + 8\)...
২৯. \(a^3 - 9 + (a + 1)^3\) [Ctg/2025]
\(= a^3 - 1 - 8 + (a + 1)^3\)
\(= (a - 1)(a^2 + a + 1) + (a + 1)^3 - 2^3\)...
\(= (a - 1)(a^2 + a + 1) + (a + 1)^3 - 2^3\)...
৩০. \(x^3 + 9y^3 + (x + y)^3\) [Jassore/2019]
\(= x^3 + y^3 + 8y^3 + (x + y)^3\)
\(= (x + y)(x^2 - xy + y^2) + (x + y)^3 + (2y)^3\)
\(= (x + y)\{(x^2 - xy + y^2) + (x + y)^2\} + (2y)^3\)
\(= \mathbf{2(x + 2y)(x^2 + xy + 5y^2)}\)
\(= (x + y)(x^2 - xy + y^2) + (x + y)^3 + (2y)^3\)
\(= (x + y)\{(x^2 - xy + y^2) + (x + y)^2\} + (2y)^3\)
\(= \mathbf{2(x + 2y)(x^2 + xy + 5y^2)}\)
Type-08
৩১. \(4b^2 + \frac{1}{4b^2} - 2 + 4b - \frac{1}{b}\) [Dinajpur/2024]
\(= \left(2b - \frac{1}{2b}\right)^2 + 2\left(2b - \frac{1}{2b}\right)\)
\(= \mathbf{\left(2b - \frac{1}{2b}\right)\left(2b - \frac{1}{2b} + 2\right)}\)
\(= \mathbf{\left(2b - \frac{1}{2b}\right)\left(2b - \frac{1}{2b} + 2\right)}\)
৩২. \(9c^2 + \frac{1}{c^2} - 2 + 9c - \frac{1}{c}\) [Rajshahi/2022]
\(= \left(3c - \frac{1}{c}\right)^2 + \left(9c - \frac{1}{c}\right)\)
৩৩. \(4p^2 - 4q^2 + 4q - 1\) [Cumilla/2022]
\(= 4p^2 - (4q^2 - 4q + 1)\)
\(= (2p)^2 - (2q - 1)^2\)
\(= \mathbf{(2p + 2q - 1)(2p - 2q + 1)}\)
\(= (2p)^2 - (2q - 1)^2\)
\(= \mathbf{(2p + 2q - 1)(2p - 2q + 1)}\)
