সূচক সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
Type-01
০১. \((3c^{-1} + 2d^{-1})^{-1} = ?\)
সমাধান:
\((3c^{-1} + 2d^{-1})^{-1}\)
\(= \left(\frac{3}{c} + \frac{2}{d}\right)^{-1}\)
\(= \left(\frac{3d + 2c}{cd}\right)^{-1}\)
\(= \mathbf{\frac{cd}{2c + 3d}}\)
\((3c^{-1} + 2d^{-1})^{-1}\)
\(= \left(\frac{3}{c} + \frac{2}{d}\right)^{-1}\)
\(= \left(\frac{3d + 2c}{cd}\right)^{-1}\)
\(= \mathbf{\frac{cd}{2c + 3d}}\)
০২. \(8x^{-1} = a^{-1} + b^{-1}\) হলে, \(x\) এর মান কত?
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\frac{8}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)
বা, \(\frac{8}{x} = \frac{b + a}{ab}\)
বা, \(\frac{x}{8} = \frac{ab}{a + b}\)
সুতরাং, \(x = \mathbf{\frac{8ab}{a + b}}\)
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\frac{8}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)
বা, \(\frac{8}{x} = \frac{b + a}{ab}\)
বা, \(\frac{x}{8} = \frac{ab}{a + b}\)
সুতরাং, \(x = \mathbf{\frac{8ab}{a + b}}\)
Type-02
০৩. দেখাও যে, \(\frac{4^n - 1}{2^n - 1} = 2^n + 1\)
প্রমাণ:
বামপক্ষ \(= \frac{(2^2)^n - 1}{2^n - 1}\)
\(= \frac{(2^n)^2 - 1^2}{2^n - 1}\)
\(= \frac{(2^n + 1)(2^n - 1)}{2^n - 1}\)
\(= 2^n + 1 =\) ডানপক্ষ [দেখান হলো]
বামপক্ষ \(= \frac{(2^2)^n - 1}{2^n - 1}\)
\(= \frac{(2^n)^2 - 1^2}{2^n - 1}\)
\(= \frac{(2^n + 1)(2^n - 1)}{2^n - 1}\)
\(= 2^n + 1 =\) ডানপক্ষ [দেখান হলো]
০৪. দেখাও যে, \(\frac{3^n - 1}{(\sqrt{3})^n + 1} = (\sqrt{3})^n - 1\)
প্রমাণ:
বামপক্ষ \(= \frac{\{(\sqrt{3})^2\}^n - 1}{(\sqrt{3})^n + 1}\)
\(= \frac{\{(\sqrt{3})^n\}^2 - 1^2}{(\sqrt{3})^n + 1}\)
\(= \frac{\{(\sqrt{3})^n + 1\}\{(\sqrt{3})^n - 1\}}{(\sqrt{3})^n + 1}\)
\(= (\sqrt{3})^n - 1 =\) ডানপক্ষ [দেখান হলো]
বামপক্ষ \(= \frac{\{(\sqrt{3})^2\}^n - 1}{(\sqrt{3})^n + 1}\)
\(= \frac{\{(\sqrt{3})^n\}^2 - 1^2}{(\sqrt{3})^n + 1}\)
\(= \frac{\{(\sqrt{3})^n + 1\}\{(\sqrt{3})^n - 1\}}{(\sqrt{3})^n + 1}\)
\(= (\sqrt{3})^n - 1 =\) ডানপক্ষ [দেখান হলো]
Type-03
০৫. \(b = 2, c = 8, d = 3\) হলে, \(p = \frac{8}{3}\) এবং \(\frac{b^{12}}{d^{16}} \div \left(\frac{p}{c}\right)^{16} = (2c)^{x-3}\) হলে, \(x\) এর মান কত?
সমাধান:
\(\frac{p}{c} = \frac{8/3}{8} = \frac{1}{3}\)
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\frac{2^{12}}{3^{16}} \div \left(\frac{1}{3}\right)^{16} = (2 \times 8)^{x-3}\)
বা, \(\frac{2^{12}}{3^{16}} \times 3^{16} = (16)^{x-3}\)
বা, \(2^{12} = (2^4)^{x-3}\)
বা, \(2^{12} = 2^{4x - 12}\)
বা, \(12 = 4x - 12 \implies 4x = 24 \implies x = \mathbf{6}\)
\(\frac{p}{c} = \frac{8/3}{8} = \frac{1}{3}\)
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\frac{2^{12}}{3^{16}} \div \left(\frac{1}{3}\right)^{16} = (2 \times 8)^{x-3}\)
বা, \(\frac{2^{12}}{3^{16}} \times 3^{16} = (16)^{x-3}\)
বা, \(2^{12} = (2^4)^{x-3}\)
বা, \(2^{12} = 2^{4x - 12}\)
বা, \(12 = 4x - 12 \implies 4x = 24 \implies x = \mathbf{6}\)
০৬. \(b = \sqrt[3]{8}, c = 8, d = \sqrt[3]{27}\) হলে, \(p = \frac{8}{3}\) এবং \(\frac{b^{12}}{d^{16}} \div \left(\frac{p}{c}\right)^{16} = (2c)^{x-2}\) হলে, \(x\) এর মান কত?
সমাধান:
এখানে \(b = \sqrt[3]{8} = 2\), \(d = \sqrt[3]{27} = 3\)।
\(\frac{p}{c} = \frac{8/3}{8} = \frac{1}{3}\)
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\frac{2^{12}}{3^{16}} \div \left(\frac{1}{3}\right)^{16} = (2 \times 8)^{x-2}\)
বা, \(2^{12} = (16)^{x-2} \implies 2^{12} = 2^{4x - 8}\)
বা, \(12 = 4x - 8 \implies 4x = 20 \implies x = \mathbf{5}\)
এখানে \(b = \sqrt[3]{8} = 2\), \(d = \sqrt[3]{27} = 3\)।
\(\frac{p}{c} = \frac{8/3}{8} = \frac{1}{3}\)
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\frac{2^{12}}{3^{16}} \div \left(\frac{1}{3}\right)^{16} = (2 \times 8)^{x-2}\)
বা, \(2^{12} = (16)^{x-2} \implies 2^{12} = 2^{4x - 8}\)
বা, \(12 = 4x - 8 \implies 4x = 20 \implies x = \mathbf{5}\)
Type-04
০৭. সমাধান কর: \((\sqrt{5})^{x+1} = (\sqrt[3]{5})^{2x-1}\)
সমাধান:
\((5^{\frac{1}{2}})^{x+1} = (5^{\frac{1}{3}})^{2x-1}\)
বা, \(5^{\frac{x+1}{2}} = 5^{\frac{2x-1}{3}}\)
বা, \(\frac{x+1}{2} = \frac{2x-1}{3}\)
বা, \(4x - 2 = 3x + 3\)
সুতরাং, \(x = \mathbf{5}\)
\((5^{\frac{1}{2}})^{x+1} = (5^{\frac{1}{3}})^{2x-1}\)
বা, \(5^{\frac{x+1}{2}} = 5^{\frac{2x-1}{3}}\)
বা, \(\frac{x+1}{2} = \frac{2x-1}{3}\)
বা, \(4x - 2 = 3x + 3\)
সুতরাং, \(x = \mathbf{5}\)
০৮. সমাধান কর: \((\sqrt{7})^{5x-1} = (\sqrt[5]{7})^{2x-3}\)
সমাধান:
\((7^{\frac{1}{2}})^{5x-1} = (7^{\frac{1}{5}})^{2x-3}\)
বা, \(7^{\frac{5x-1}{2}} = 7^{\frac{2x-3}{5}}\)
বা, \(\frac{5x-1}{2} = \frac{2x-3}{5}\)
বা, \(25x - 5 = 4x - 6\)
বা, \(21x = -1\)
সুতরাং, \(x = \mathbf{-\frac{1}{21}}\)
\((7^{\frac{1}{2}})^{5x-1} = (7^{\frac{1}{5}})^{2x-3}\)
বা, \(7^{\frac{5x-1}{2}} = 7^{\frac{2x-3}{5}}\)
বা, \(\frac{5x-1}{2} = \frac{2x-3}{5}\)
বা, \(25x - 5 = 4x - 6\)
বা, \(21x = -1\)
সুতরাং, \(x = \mathbf{-\frac{1}{21}}\)
